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什么是分离性定理拓扑线性空间中的凸集离别定

admin   2019-08-03 08:47 本文章阅读
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  拓扑线性空间中的凸集折柳定理98面 其余倘若如上方式的超平面0H不是空间X的闭集 则它是X的众多子集 外明 先证定理的第一个人 x正在X上一连则由 10 相反倘若0H是空间X中的闭集 则100cl xHH 对称的 UN使得10 xUH 由0H的界说 xx没关系假设 xxk这里的0k 待定 咱们要证 所确拓扑线性空间中的凸集折柳定理98面 其余倘若如上方式的超平面0H不是空间X的闭集 则它是X的众多子集 外明 先证定理的第一个人 x正在X上一连则由 10 相反倘若0H是空间X中的闭集 则100cl xHH 对称的 UN使得10 xUH 由0H的界说 xx没关系假设 xxk这里的0k 待定 咱们要证 所确定的汇合1V是X的零邻域从而由命题3 x一连因U是零邻域 故只需证1 UV 反证法 假设 xU使得1 xV 这注明 xx由U的对称性假设 咱们能够假定 xx再由U的罗致性 存正在0 xx个中 xU因为 xx以是可取适合的 xx云云一来 就有 11111 xxxxxxxxxxx xxxx据此 110 xxH 戒备到11 xxU又有111 xxxU 但10 xUH 两者冲突 再证定理的第二个人 倘若0H不是闭集 由命题3 0clH也是子空间 且能够取到000cl xHH 于是 00 xx 对轻易固定的 xX 存正在 使得xx 00 xxxx xxx这注明00 xxH 即00 xxH 又由于00cl xH 而0cl H是子空间 故00cl xH 从而有0000cl xxHHH 0cl 由xX的轻易性 有0cl XH 即0H是空间X的的众多子集 拓扑线性空间X的拓扑对偶空间 X是指界说正在X上的一连线性泛函 x的全数 因为第三章 拓扑线 很少同时操纵代数对偶和拓扑对偶 所以咱们操纵相似的暗号显示它们 当它们正在统一题目中同时呈现而且不加区别会形成零乱时 那是须要操纵差异暗号的 咱们云云讲是由于纵使正在自此仍将 X判辨为代数对偶 也不会形成大题目 底细上 咱们曾经看到 关于X的独特拓扑 比如以代数开凸集行动拓扑基 拓扑对偶与代数对偶是能够恒同的 有了前面的打定管事 下面首先议论拓扑线性空间中的凸集折柳定理 须要指出的是 现正在央求的折柳超平面是闭的 即所对应的线性泛函是一连的 咱们的措施是诈欺线性空间的凸集折柳定理导出拓扑线性空间中的凸集折柳定理 为此 须要创立凸集的代数内部与拓扑内部之间的闭联 命题3 设K为拓扑线性空间X中的凸集且K的拓扑内部非空 即int intiKKii cl cKK 外明 设intxK UNxUK由零邻域U的罗致性 iixxUK故int iKK 相反 由方才外明的intiKK 和要求 ixK另取0int ixKK 用定理1 xK有01 ixxK 于是能够采纳前面的01 xxx 若能外明 01 int xxK 则有int xK 从而有int iKK 底细上 由0intxK xUxKKK即01 xxUK这注明 点01 xx的邻域01 xxUK故01 int xxK ii VNx必有VK 含有某个xth 这即是cl xK 相反 若1cl xK 任取0int xK 则同外明i 相似 有01 int xxKK 令01 hxx 取10 cxK定理3 AB是拓扑线性空间X中的两个非空汇合AB intAB 且0int AB AB可用闭超平面折柳0与int AB 可用 拓扑线性空间中的凸集折柳定理100 闭超平面庄重折柳 倘若再加上要求0cl AB AB可用闭超平面强折柳外明 由已知要求和命题3 6的要求餍足故存正在非零的 0xX 代数对偶 使得 intxxxAB 换言之 存正在超平面 00 HxXxx折柳0和AB 等价于折柳 AB 庄重折柳0和 int iABAB 咱们断言 假设0H不闭则由定理3 6的后半个人知0cl HX 可是 由0H庄重折柳0和int AB 咱们后面外明0cl int HAB 由此又获得与前面冲突的结果 0cl int HXABX 剩下需证0cl int HAB 再次操纵反证法 假设0cl int HAB 则存正在0cl xH 使得int xAB 由后者知 存正在 UNx 使int UAB 关于这个邻域U 由前者知0 UH 于是可取 uU 餍足0 uH 因int UAB 故又有int uAB 这些结果导至冲突 由0H的界说 0xu由前面的庄重折柳不等式 xu结果的强折柳结果操纵定理1 9随即获得下面的几个推论原来是咱们每每用到的 推论1 AB是拓扑线性空间X中的两个非空凸集且int intAB AB可用闭超平面折柳int AB可用闭超平面庄重折柳 外明 易证int int ABAB 然后用本定理随即获得结论 推论2设A是拓扑线性空间X中的凸集 且int 则关于任何intxA 存正在一连的 xX 使得 int xxxyyA 外明 Bx然后用推论1 正在第一章里 咱们界说过非空汇合KX 的撑持函数第三章 拓扑线 sup KxKxxxxX 现正在 将线性空间X当作拓扑线性空间 将代数对偶 X当作拓扑对偶 非空汇合KX 的撑持函数观念能够一成不变 推论3 设KX KKxXxxxxX外明 “左端 右端”时操纵本定理的强折柳个人 推论4 设X是Hausdorff拓扑线性空间 KX CX是紧子集 KC则存正在闭超平面强折柳K、 外明能够外明 正在Hausdorff拓扑线性空间中 知intint KCKC 由KC 推出0KC cl KC 再操纵本定理的强折柳个人即可获得结论 与第一章对比 是否能够提出“相对拓扑内部”的观念 把全体的要求都削弱为“相对拓扑内部” 正在本章第1节的结果 咱们针对拓扑空间X的子集A界说过相对拓扑、相对开集和子拓扑空间 不外 现正在面临的是有线性布局和拓扑布局的拓扑线性空间 以是相对拓扑内部能够等价地界说为 设A是拓扑线性空间X的子集 A的相对拓扑内部是指 ri AxX 零邻域 cl aff UxUAA 有了这一观念后 命题3 7确实能够改正为如下方式命题3 设K为拓扑线性空间X中的凸集且K的相对拓扑内部非空 即ri ririKK ii cl cKK 可是 定理3 8及其推论并不行相似改正这是为什么呢 由于这时的凸集折柳定理须要的折柳超平面是闭的 或相应的线性泛函是一连的 然而 存正在云云的拓扑线性空间 它的拓扑对偶是普通的 正在云云的空间里不存正在非零一连线性泛函 所以不存正在任何闭超平面 回想定理3 8的外明咱们是操纵了拓扑内部int AB 非空来外明折柳超平面0H是闭的 现正在 倘若放宽为相对拓扑内部ri AB 那就意味着须要将闭仿射集claff A扩充为闭超平面 按方才的领会 这不是总能办到的 原来 咱们从下面的命题就能够明了地看到这一点 命题3 拓扑线性空间X中存正在闭超平面或非零一连线性泛函的充要要求是X中存正在开凸真子集 拓扑线性空间中的凸集折柳定理102 外明 须要性 HxXxx则彰着它是X中的真凸子集 下面外明它是开集 xrxx需证int xH x正在xX一连 没关系假设xr UN使得 xxxxUrr据此有 xUH 即int xH 足够性 则存正在xXA Bx操纵定理3 上界说的分段一连函数的全数按平淡的函数的加法和数乘 它是一个线 xtxdtxxtSxt界说 S称为拓扑线性空间且能够验证它是Hausdorff空间 可是 S中不存正在任何开凸真子集底细上 假设 诟谇空开凸子集且没关系假设0A 不然探求汇合 Ax 这里xA 轻易取定 为说明咱们的论断 只需外明 必有 nNnUA xS界说 kkknxttxtknnn其余 彰着 每个 kxS又由于 1110 kkknnkkkknnxtxtxdtdtdtxtnxtn故全体的 knxUA 其余 彰着有11 nxxxn 再戒备到A是凸集的假设 随即有 xA xS的轻易性 获得 SA进而有 第三章拓扑线及其推论无法象正在线性空间里相似改正由于纵使是正在Hausdorff拓扑线性空间中轻易两个差异点也无法找到折柳它们的闭超平面折柳 但能够找到各自的互不结交的开邻域 即2T正理创制 下面的定理是线的变形从该定理能够再次看到 正在拓扑线性空间中 关于凸集折柳定理来说 开凸真子集存正在的须要性 定理3 10拓扑线性空间X中的两个非空凸集 AB可用闭超平面强折柳的充要要求是 存正在X中的凸零邻域 使得AVB 下一节引进的片面凸空间的观念 即是上面的议论激励的 片面凸空间具有凸零邻域基的拓扑线性空间称为片面凸空间 关于片面凸空间 咱们有以下少少有心义的结论 命题3 设X是由非普通拓扑的片面凸空间则X中有闭超平面 即有非零一连线 设X是折柳片面凸空间则1212 xxXxx xX 使得 12 xxxx 外明 由折柳性正理2T和片面凸 存正在凸零邻域 使得12xUxU 再用定理3 8的推论1存正在 xX 使得 112212 xxuxxuuuU 正在上式中取120uu 即可获得结论 正在上一节结果 咱们提到 正在平常的拓扑线性空间 闭仿射集不肯定能扩充为闭超平面 下面的命题注明 正在片面凸空间 这是能够办到的 命题3 设X是片面凸空间AX 则存正在包蕴A的闭超平面外明 由要求知 xUA由定理3 10存正在 xX 使得 xAxx云云一来 片面凸空间104 结果 假设“断言”不创制 则存正在12 xxA 12 xxxx 这里咱们没关系假设 12 xxx由命题1 12121xxxXxxxxRA 先轻易固定 记12112xxxxxx 121xxxxxxx 再由x 的轻易性 xx这与前面的折柳不等式冲突 有了命题3 正在片面凸空间中咱们能够将定理3 8及其推论中的拓扑内部放宽为相对拓扑内部希罕 咱们能够将定理1 8扩展为如下的定理定理3 设AB、是片面凸空间X中的凸集ri 且riri AB 则AB、可用闭超平面折柳 ri ri AB、可用闭超平面庄重折柳 外明 由命题3 这时有ririAA ri riBB 以是能够操纵线 然后对闭仿射集clH操纵命题3 存正在闭超平面0clHH 这里的0H即是本定理所需的折柳闭超平面 设X是任一片面凸拓扑线是线性空间X的罗致凸集的全数用U2行动线性空间X的零邻域基诱导出X的一个片面凸拓扑 咱们指出 后面这个片面凸拓扑 即“以全体罗致凸集行动零邻域的拓扑” 是“最细的片面凸拓扑” 即U1 U2 换言之 X上任何片面凸拓扑都比它粗 底细上 U1则由命题3 iU由于它是拓扑线性空间X的零邻域 自然有int 其余它如故凸集于是由命题3 intiUU 据此和0 iU 就有0int 以是UU2 依照上面的陈述 咱们能够说 定理3 8对线性空间X给予“最细的片面凸拓扑”后的扩展不单云云 下面的定理注明 有下场部凸拓扑 有时连相对拓扑内部都不必探求 定理3 KC则存正在闭超平面强折柳 KC、 外明 由命题1 能够外明正在折柳拓扑线性空间KC 又是闭集 由KC KC据此有 UNUKC 对两个闭集KC 10即可获得结论推论 Hahn Banach定理 设K是折柳片面凸空间X中的汇合 clco KKxXxxxxX 外明 简记 KAxXxxxxX 先证clco KA yK则对轻易固定的 xX 第三章拓扑线 sup KzKxyxzx yA以是有 KA 戒备到汇合 KxXAxx以及 x的一连性 随即晓得它是闭集 从而有cl co cl KAA 再证cl co AK 设0cl co xK 对闭凸集cl co xX使得 00000cl co sup sup KxKxKxxxxxxx 据此有0 xA 故cl co AK 下面咱们要议论片面凸空间的一个首要的特性性子 即这类空间能够用一族半范数来描述 原来这是咱们正在 3中曾经提到过的底细正在那里 线性空间X上的函数 pXR 称为是X上的半范数 是指它是餍足 pxpx 的样板函数 它也能够直接界说为餍足下列三要求的函数 0xXpxii xXRpxpx iii xyXpxypxpy 由命题2 5和p的对称性可知每个X上的半范数p总对应着X中的一个对称罗致凸集 U它们之间的闭联如下 cUxXpxinf pxxU且任何界于上述iU和cU之间的汇合 也都餍足这些闭联 由命题3 2和片面凸空间的界说片面凸空间即是用一族对称罗致凸集来确定其拓扑布局的空间 以是 它也肯定能用一族半范数来确定其拓扑 切当地说 即是下面的定理 定理3 iiIp是线性空间X上的一族半范数 则X上存正在使每个ip都一连的与线性布局相谐和的最粗的拓扑布局 关于这一拓扑 X是片面凸空间 且以下方式的汇合组成了X的闭零邻域基 片面凸空间106 外明令U为形如 的汇合的全数的集族则它彰着是X上的滤子基 即U非空、不含 U中轻易两元的交含有U的元 进一步 它如故由闭凸零邻域构成的滤子基 底细上 由于这一拓扑使使每个ip都一连 故每个1 iiiUpxXpx 由半范数的界说易知它如故凸集以是 每个iU 又是X的闭凸零邻域 戒备到任何基元U 咱们有111 max kkkiiiknknknUxXpxxXpxU 以是 U也是X的闭凸零邻域 综上 下面验证滤子基U餍足命题3 、ii和iii 从而U能够用来行动线性空间X的零邻域基 诱导出X上的与线性布局相谐和的拓扑布局 为后面操纵 咱们记这一拓扑为T 不单云云 由上面的结果 这一拓扑如故片面凸的 0iUhX ihU以是有0 iiU 由此推知 110 kkiiiiiknknUUU ii 1122VVUUU iii 使WU由于U自己即是对称的 故取WU 就行了 结果 T是使全体ip都一连的最粗的拓扑 假设另一拓扑T1也是使全体ip都一连的拓扑 其闭凸零邻域基为U1 且U1 U1由U的界说知 kiknUxXpx戒备到U的凸性与拓扑无闭 U1推知U闭于拓扑T1不闭于是由上式知存正在某个00 kkn使得001 kkiixXpxp 这与假设“拓扑T1也使全体ip都一连”冲突由这肯定理所确定的X上的拓扑 称为X的由半范数族 iiIp 所确定的片面凸拓扑 而由对称罗致凸集与半范数的彼此对应 任何片面凸拓扑也必然能够用一族半范数来确定 下面的命题是命题3 3的推论命题3 设X片面凸空间其拓扑由半范数族 iiIp 所确定 第三章拓扑线 而这是易证的因为半范数取值为非负实数 以是命题3 7显示了用半范数族来外达空间的平常性子是对比简单的希罕是正在无尽维空间 下面咱们罗列少少常用的结果 这些结论的外明简直都是没有繁难的 餍足lim lim x一连11 max knikniiIxXxxpx 这里“ ”个人不太彰彰 其外明可诈欺命题3 希罕当1n maxkiknxxpx 造成 ixxpx 正在后面咱们会众次操纵 下面是少少新观念 正在片面凸空间 它们用半范数族来外述是希罕简单的 拓扑线性空间的完好性 Dx是拓扑线性空间X中的网 倘若 使得0xxU 为X的Cauchy网诈欺网和滤子间的闭联能够相像地界说Cauchy滤子 关于由半范数族 的片面凸空间X来说Dx 是Cauchy网 iDiIpx 拓扑线性空间X称为完好的倘若X中任一Cauchy网都是收敛的 同样 关于片面凸空间X来说 X完好 Cauchy网 Dx xX iI lim ipxx正在这些新观念中 拓扑线性空间的子集的有界性该当希罕众说几句 正在隔绝空间 赋范空间 子集的有界是指它能够被一个以原点为心、半径足够大的圆所包蕴可是 拓扑线性空间没有隔绝的观念 以是“巨细”、“遐迩”原来都是没有的 更讲不上“半径足够大的圆” 以是 子集的有界性的界说须要操纵其它的措施 借助于零邻域该当是自然的思绪 不单云云 扩展后的有界观念回到隔绝空间该当与隔绝空间历来的有界是相同的 拓扑线性空间X的子集A称为有界集 倘若关于X的轻易零邻域 U存正在0 使得 AU 关于片面凸空间来说 A有界 iI 实数汇合 ixApx 有界 最常用的片面凸空间是赋范空间和赋距空间 赋范空间是由一个范数 餍足“0 0xpx ”的半范数p 平淡记为 来确定拓扑的片面凸空间 片面凸 赋距空间则是可由隔绝来确定拓扑的片面凸空间 咱们晓得 范数能够诱导隔绝 dxyxy 故赋范空间肯定是赋距空间 但反之不肯定 这是由于平常的隔绝 dxy不


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